Sistem pengambilan keputusan dan Kasus

LAPORAN

SISTEM PEGAMBILAN KEPUTUSAN

Disusun oleh :

Khusnul Khotimah               A1314029

 

Jurusan Teknik Informatika

Politeknik Negeri Tanah Laut

Pelaihari 2015/2016

1.      TEORI

PENGERTIAN DAN KARAKTERISTIK PROGRAM LINEAR

Program linear adalah salah satu model matematika yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi, yaitu memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan yang bergantung pada sejumlah variabel input, serta menyelesaikan masalah optimasi suatu model linear dengan keterbatasan-keterbatasan sumber daya yang tersedia.

Secara umum, fungsi pada model ini ada dua macam yaitu fungsi tujuan dan fungsi pembatas. Fungsi tujuan dimaksudkan untuk menentukan nilai optimum dari funsi tersebut yaitu nilai maksimal untuk masalah keuntungan dan nilai minimal untuk masalah biaya.

Fungsi pembatas diperlukan berkenaan dengan adanya keterbatasan sumber daya yang tersedia, misalnya jumlah bahan baku yang terbatas, waktu kerja, jumlah tenaga kerja, luas gudang persediaan. Tujuan utama dari program linear ini adalah menentukan nilai optimum (maksimal/minimal) dari fungsi tujuan yang telah ditetapkan. Banyak cara untuk menyelesaikan masalah dalam program linear yaitu dari cara manual yaitu menggunakan perhitungan biasa sampai menggunakan bantuan komputer untuk penyelesaian masalah yang cukup rumit. Apabila banyaknya variabel (peubah) hanya dua buah, maka kita dapat menyelesaikan masalah program linear dengan metode grafik, tetapi dengan keterbatasan metode ini, maka untuk masalah dengan banyaknya variabel yang lebih dari dua, metode ini kurang cocok.

Dua macam fungsi Program Linear:

1.      Fungsi tujuan : mengarahkan analisa untuk mendeteksi tujuan perumusan masalah

2.      Fungsi kendala : untuk mengetahui sumber daya yang tersedia dan permintaan atas sumber daya tersebut.

Karakteristik  Pemrograman Linier

a.              Sifat linearitas suatu kasus dapat ditentukan dengan menggunakan beberapa cara. Secara statistik, kita dapat memeriksa kelinearan menggunakan grafik (diagram pencar) ataupun menggunakan uji hipotesa. Secara teknis, linearitas ditunjukkan oleh adanya sifat proporsionalitas, additivitas, divisibilitas dan kepastian  fungsi tujuan dan pembatas.

b.             Sifat proporsional dipenuhi jika kontribusi setiap variabel pada fungsi tujuan atau penggunaan sumber daya yang membatasi proporsional terhadap level nilai variabel. Jika harga per unit produk misalnya adalah sama berapapun jumlah yang dibeli, maka sifat proporsional dipenuhi. Atau dengan kata lain, jika pembelian dalam jumlah besar mendapatkan diskon, maka sifat proporsional tidak dipenuhi. Jika penggunaan sumber daya per unitnya tergantung dari jumlah yang diproduksi, maka sifat proporsionalitas tidak dipenuhi.

c.              Sifat additivitas mengasumsikan bahwa tidak ada bentuk perkalian silang diantara berbagai aktivitas, sehingga tidak akan ditemukan bentuk perkalian silang pada model. Sifat additivitas berlaku baik bagi fungsi tujuan maupun pembatas (kendala). Sifat additivitas dipenuhi jika fungsi tujuan merupakan penambahan langsung kontribusi masing-masing variabel keputusan. Untuk fungsi kendala, sifat additivitas dipenuhi jika nilai kanan merupakan total penggunaaan masing-masing variabel keputusan. Jika dua variabel keputusan misalnya merepresentasikan dua produk substitusi, dimana peningkatan volume penjualan salah satu produk akan mengurangi volume penjualan produk lainnya dalam pasar yang sama, maka sifat additivitas tidak terpenuhi.

d.             Sifat divisibilitas berarti unit aktivitas dapat dibagi ke dalam sembarang level fraksional, sehingga nilai variabel keputusan non integer dimungkinkan.

e.              Sifat kepastian menunjukkan bahwa semua parameter model berupa konstanta. Artinya koefisien fungsi tujuan maupun fungsi pembatas merupakan suatu nilai pasti, bukan merupakan nilai dengan peluang tertentu. 

Keempat asumsi (sifat) ini dalam dunia nyata tidak selalu dapat dipenuhi. Untuk meyakinkan dipenuhinya keempat asumsi ini, dalam pemrograman linier diperlukan analisis sensitivitas terhadap solusi optimal yang diperoleh.

3.      SOAL KASUS

HMJ Teknik Informatika UPN akan memproduksi dua jenis jaket, yaitu jaket Standard dan jaket Super. Setiap jenis jaket menggunakan sumber daya sebagai berikut :

Sumber daya	Jenis jaket		Kapasitas
	Standard	Super
Bahan baku	4	6	1200
Jumlah jam	4	2	800

Diperkirakan permintaan Produk standard maksimum 250 unit per bulan, sedang produk super 300 unit per bulan. Sumbangan keuntungan untuk produk standard sebesar Rp 400 per unit sedangkan produk Super Rp 300 per unit. Berapa kapasitas produksi optimum untuk kedua jenis produk tersebut supaya diperoleh keuntungan maksimum ?

Jawaban :

1.      Fungsi Kendala :

a.       4x + 6y ≤ 1200

b.      4x + 2y ≤ 800

c.       x           ≤ 250

d.      y           ≤ 300

2.      Fungsi Tujuan :

Z = 400x + 300y

3.      Grafik

a.       4x + 6y ≤ 1200

x = 0

4x + 6y = 1200

4.0 + 6y = 1200

         6y = 1200

           y =

           y = 200

y = 0

4x + 6y = 1200

4x + 6.0 =1200

4x          = 1200

x            =

x            = 300

b.  4x + 2y ≤ 800

x = 0

4x + 2y = 800

4.0 +2y = 800

         2y = 800

           y =

           y = 400

y = 0

4x + 2y = 800

4x + 2.0 = 800

4x         = 800

x            =

x            = 200

x                 ≤ 250

d.     
y                 ≤ 300

4.      Grafik akhir

Titik potong :

A =(0,0)

B =(0,200)

C =(150,100)

D =(200,0)

5.    Hasil Fungsi Tujuan

Z = 400x + 300y

A =(0,0)

Z      = 400x + 300y

        = 400.0 + 300.0

        = 0

B =(0,200)

Z     = 400x + 300y

 = 400.0 + 300.200

= 60.000

C =(150,100)

Z     = 400x + 300y

       = 400.150 + 300.100

       = 60.000 + 30.000

       = 90.000

D =(200,0)

Z     = 400x + 300y

        = 400.200 + 300.0

       = 80.000

Kesimpulan :

v  kapasitas produksi optimum untuk kedua jenis produk tersebut supaya diperoleh keuntungan maksimum dengan jenis jaket standard 150 dan jenis jaket super 100 dengan keuntungan maksimum Rp. 90.000 per unit.

4.      PENJELASAN APLIKASI GEOGEBRA

GeoGebra merupakan salah satu software bantu yang cukup lengkap dan digunakan secara luas. Nama GeoGebra merupakan kependekan dari geometry(geometri) dan algebra (aljabar). Meski dari sisi nama hanya merujuk geometri dan aljabar aplikasi ini tidak hanya mendukung untuk kedua topik tersebut, tapi juga mendukung banyak topik matematika diluar keduanya. GeoGebra pertama kali dikembangkan oleh Markus Hohenwarter dari Austria dan dirilis sebagai perangkat lunak opensource sehingga dapat dimanfaatkan secara gratis dan bebas untuk dikembangkan.

GeoGebra merupakan program komputer yang bersifat dinamis dan interaktif untuk mendukung pembelajaran dan penyelesaian persoalan matematika khususnya geometri, aljabar, dan kalkulus. Sebagai sistem geometri dinamik, konstruksi pada GeoGebra dapat dilakukan dengan titik, vektor, ruas garis, garis, irisan kerucut, fungsi. 

Salah satu ontoh penggunaan yang sangat sederhana misalnya pada kotak isian input saya memasukan fungsi kuadrat, maka setelah menekan tombol [Enter] grafik fungsi kuadrat tersebut akan ditampilkan. Dengan menggunakan tool point yang disediakan, saya mengklik dua titik perpotongan grafik tersebut dengan sumbu x, sebagai penyelesaian dimana y=0. Selain itu sebagai contoh juga dapat di gunakan dalam pembelajaran integral

Beberapa pemanfaatan program GeoGebra dalam pembelajaran matematika adalah sebagai berikut.

a. Dapat menghasilkan lukisan-lukisan geometri dengan cepat dan teliti dibandingkan dengan menggunakan pensil, penggaris, atau jangka.

b. Adanya fasilitas animasi dan gerakan-gerakan manipulasi (dragging) pada program GeoGebra dapat memberikan pengalaman visual yang lebih jelas kepada siswa dalam memahami konsep geometri.

c. Dapat dimanfaatkan sebagai balikan/evaluasi untuk memastikan bahwa lukisan yang telah dibuat benar.

d. Mempermudah guru/siswa untuk menyelidiki atau menunjukkan sifatsifat yang berlaku pada suatu objek geometri.

5.      Soal Kasus penyelesaian dengan aplikasi geogebra

Seorang pembuat kue mempunyai 8 kg tepung dan 2 kg gula pasir. Ia ingin membuat dua macam kue yaitu kue dadar dan kue apem. Untuk membuat kue dadar dibutuhkan 10 gram gula pasir dan 20 gram tepung sedangkan untuk membuat sebuah kue apem dibutuhkan 5 gram gula pasir dan 50 gram tepung. Jika kue dadar dijual dengan harga Rp 300,00/buah dan kue apem dijual dengan harga Rp 500,00/buah, tentukanlah pendapatan maksimum yang dapat diperoleh pembuat kue tersebut.

Pembahasan :

Untuk mengetahui pendapatan maksimum, maka terlebih dahulu kita menyusun sistem pertidaksamaan dan fungsi tujuan dari soal cerita tersebut. Karena yang ditanya pendapatan maksimum, maka tentu harga jual kue merupakan fungsi tujuan pada soal ini. Untuk menyusun sistem pertidaksamaan, yang perlu kita lakukan adalah menentukan variabel dan koefisiennya.

Bahan yang tersedia:

Tepung = 8 kg = 8000 g

Gula = 2 kg = 2000 g

Misalkan :

kue dadar = x₁

kue apem = x₂

Bahan	Dadar (X1)	Apem(X2)	Persediaan
Tepung	20	50	8000
Gula	10	5	2000

           

JAWABAN !!!

Dari tabel di atas dapat disusun sistem pertidaksamaan sebagai berikut :

20x₁ + 50X₂ = 8000 ---> 2x₁ + 5x₂ <= 800

10x₁ +5x₂ = 2000 ---> 2_x + x₂ <= 400

X₁ >= 0 dan x₂ >= 0 

dengan fungsi tujuan f(x,y) = 300x₁ + 500x₂ 

Gambar 1. Tampilan awal saat masuk kedalam aplikasi geogebra untuk

Penyelesaian soal kasus program linear diatas

Selanjutnya, kita akan memasukkan Fungsi Kendala dari soal diatas, yaitu:

2x₁ + 5x₂ <= 800

Ketikkan pada kolom input pada aplikasi geogebra tersebut,kemudian enter

Gambar 2. Gambar Garis Linear dimana itu merupakan garis linear dari

Fungsi kendala sebelumnya

Gambar 3. Seperti perintah sebelumnya, kita masukkan kembali fungsi kendala yang kedua

Pada kolom input kemudian enter

Maka akan tampil garis linear yang kedua, pada fungsi kendala yang kedua

Gambar 4. Kemudian Pilih Polygon untuk membuat grafik fungsi dari garis linear yang

Kita membuat untuk meyeleksi daerah fungsinya

Gambar 5. Setelah kita pilih disetiap titiknya maka akan kita ketahui berapa nilai disetiap titik tersebut secara otomatis

Gambar 6. Gambar Grafik fungsi daerah yang diarsir

Gambar 7. Ini adalah cara untuk mengetahui pendapatan maksimum yang bisa diperoleh pedagang kue, dengan  memasukkan fungsi tujuan yaitu:

Z= 300X₁+500X₂

Masukkan kembali pada kolom input dengan cara:

Z= 300X₁ (A)+500X₂ (A), kenapa A? Karena Kita akan mengetahui pendapatan maksimum pada Titik A, kemudian untuk titik B,C dan D sama caranya seperti mencari pendapatan pada titik A.

Setelah Setelah kita masukkan kepersamaan tadi, maka pada sisi sebelah kiri sudah dapat kita ketahui pendapatan maksimum dari setiap titik A,B,C dan D.

Untuk A = 0,  B= 80000, C= 95000, dan D=60000

v  Jadi Kesimpulannya, pendapatan maksimum yang bisa diperoleh pedagang kue itu adalah Rp 95.000,00 dengan 150 Dadar dan 100 Apem.